1. 电阻的作用
1.1 限流
限流就是限制电流大小，防止电路中流过的电流过大，烧坏元件或导致不正常工作。
电阻是怎么实现限流的？根据 欧姆定律：
$$
I = \frac{V}{R}
$$
- 在电压 V 一定的情况下，电阻 R 越大，电流 I 就越小
- 所以在电路中加入电阻，就可以控制流过电路的电流不超过某个安全值 举个例子，比如一个 LED 灯：
- LED 对电流很敏感，直接接电源可能烧掉
- 加一个 限流电阻，比如 330Ω，可以让通过 LED 的电流稳定在 10~20mA 左右，保护LED不被烧坏
电阻限流的常见用途：
- 保护元器件（比如LED、IC等）
- 控制电流大小（比如分流电路、电机控制）
- 设定工作状态（比如偏置电路）
1.2 分流
分流就是把总电流分成几股，分别流经不同的支路。 电阻在并联电路中起到“决定电流如何分配”的作用。
在并联电路中：
- 各支路的电压相同
- 电流按照各支路的电阻大小进行分配
$$
I = \frac{V}{R}
$$
电阻小的支路，电流就大；电阻大的支路，电流就小。
举个例子：
- 假设有两个并联的电阻：R~1~=100Ω，R~2~=200Ω；
- 电源电压 V = 10V
总电流就是：
$$
I_{总}=I_1 + I_2 = \frac{10V}{100\ \Omega} + \frac{10V}{200\ \Omega}= 0.1A + 0.05A = 0.15A
$$
电阻分流常用在哪？
- 电压分配（分压也可能用到）
- 多路供电电路
- 电流采样（比如分流电阻测电流）
- 调节电流大小，防止某一路电流过大
1.3 分压
分压就是利用电阻把一个总电压按比例分成几个部分，在每个电阻上分到不同的电压。这个操作在模拟电路中非常常见，比如：
- 给某个芯片提供偏置电压
- 信号电压调节
- 电位器调节音量、亮度等
最基本的分压电路：
两个电阻 R~1~ 和 R~2~串联在一个电源 V~in~ 上：
Vin ── R1 ──+── R2 ──┬── GND
│ │
V_out ↓
测量电压点对于这个电路，输出电压（取自 R~2~ 两端）为：
$$
V_{out} = V_{in} \times \frac{R_2}{R_1 + R_2}
$$
也就是说，输出电压是按照 电阻比值 来分配的。
举个例子：
电源 V~in~ = 12V，R~1~ = 2kΩ，R~2~ = 1kΩ，
则：
$$
V_{out} = 12V \times \frac{1}{2+1} = 12V \times \frac{1}{3} = 4V
$$
分压注意事项：
- 负载不能太重：分压电路输出端不能接太大的负载（电流一大，电压就变了）
- 适合信号、小电流用途
- 如果要接负载，记得用缓冲器（比如运算放大器）来隔离
实际应用：
- 电池电压监测（先分压，再送给ADC）
- 音量调节（电位器其实就是可调分压）
- 模拟信号调节
2. 电容
2.1 电容的特性
2.1.1 电容两端电压差无法突变
电容器的电压变化和电流之间的关系是：
$$
i(t) = C \cdot \frac{dV(t)}{dt}
$$
也就是说：电容中电流的大小，取决于电压变化的速度。在实际电路中，电容的充电过程是个“渐变”：
$$
V_C(t) = V_{in} \cdot \left(1 – e^{-t/RC} \right)
$$
这个指数函数说明电压是连续变化，起始斜率是最大的，但也不是跳跃！
实际应用：
- 稳压/滤波：电容维持电压不突变，平滑电源波动
- 去耦/抗干扰：吸收高频干扰，保护芯片
- 延时电路：RC充放电形成时间延迟
- 软启动：防止电压瞬间冲击元件
- 采样保持：电容可暂时“保存”一个模拟电压值
2.1.2 储能
2.1.2.1 电能
- 电容就像一个“小型电池”
- 电压越高、电容越大，储能就越多
- 它可以在需要时快速释放能量，支撑电路短时间运行或提供瞬时大电流
电容器可以把电能“存起来”——它通过在电场中储存电能来完成这个过程。电容储存的能量为：
$$
E = \frac{1}{2} C V^2
$$
其中：
E：储存的能量（焦耳，J）C：电容值（法拉，F）V：电容两端的电压（伏特，V）
2.1.2.2 时间常数
在电容充放电过程中，时间常数是用来衡量“电压变化速度”的一个参数。
$$
\tau = R \times C
$$
R：电阻（单位：Ω）C：电容（单位：F）τ：时间常数（单位：秒）
电容电压的充电公式：
$$
V_C(t) = V_{in} \cdot \left(1 – e^{-t/\tau} \right)
$$
- t = 0：刚开始，电压是 0
- t = τ：电压升到约 63.2%
- t = 2τ：升到约 86.5%
- t = 3τ：95%
- t = 5τ：接近 99%（基本认为充满了）
应用例子：
- 快充/放电：闪光灯、电子快门
- 瞬间供电：电源切换、掉电保护
- 能量回收：电动车刹车时储能（用超级电容）
- 备用电源：维持时钟、存储器数据（RTC电容）
2.2 阻抗的计算
$$
X_C = \frac{1}{2\pi f C}
$$
XC：电容的阻抗（单位：欧姆，Ω）f：信号频率（单位：Hz）C：电容值（单位：F）
理解方式：
- 频率越高，电容阻抗越小
- 电容越大，阻抗也越小
- 所以：高频容易通过电容，低频和直流被挡住
假设：
- 电容：C = 0.1uF,频率：f = 1kHz
代入公式：
$$
X_C = \frac{1}{2 \pi \cdot 1000 \cdot 0.1 \times 10^{-6}} \approx 1591.5\ \Omega
$$
2.3 电容的作用
2.3.1 稳压
电容具有“电压不能突变”的特性，当电路中电压发生剧烈变化（比如噪声、电流波动）时：
- 电容会吸收多余电荷（电压上升时）
- 或释放储存电荷（电压下降时）
这样就起到了缓冲作用，电压不会剧烈抖动，变得更加平稳。
2.3.1.1 电源滤波/稳压
- 整流电路后接一个大电容（几百 μF ~ 几千 μF）
- 滤除整流后的脉动，保持输出电压平稳
2.3.1.2 芯片供电稳压（去耦）
- 小电容（比如 0.1μF）放在芯片供电引脚附近
- 吸收高速开关引起的电压尖峰，稳定 Vcc
2.3.2 滤波
① 用电压分压公式分析：
这是一个阻抗分压器，输出电压 V~out~是 R 和 C 分压的结果：
$$
V_{out} = Vin \cdot \frac{Z_C}{R + Z_C}
$$
其中电容的阻抗是：
$$
Z_C = \frac{1}{j\omega C}
\quad (\omega = 2\pi f)
$$
② 代入电容阻抗：
$$
V_{out} = Vin \cdot \frac{1/j\omega C}{R + 1/j\omega C}
$$
分子分母同乘 jwC 来简化：
$$
V_{out} = Vin \cdot \frac{1}{j\omega RC + 1}
$$
这就是频率响应函数（传递函数）的一部分。
③ 求幅度响应：
只看电压幅值大小：
$$
\left| \frac{V_{out}}{Vin} \right| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}
$$
④ 定义“截止频率”：
截止频率的定义是：
输出信号的幅度衰减3dB（约 0.707 倍）的频率。
所以我们令：
$$
\frac{1}{\sqrt{1 + (\omega_c RC)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
$$
两边平方：
$$
\frac{1}{1 + (\omega_c RC)^2} = \frac{1}{2}
\Rightarrow (\omega_c RC)^2 = 1
\Rightarrow \omega_c RC = 1
$$
⑤ 解出截止角频率：
$$
\omega_c = \frac{1}{RC}
\quad\text{再转成频率：}
\quad f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} = \frac{1}{2\pi RC}
$$
得证！
$$
\boxed{f_c = \frac{1}{2\pi RC}}
$$
小总结
- RC 低通滤波器的频率响应是
√2/2 - 截止频率对应输出变为原来的
0.707倍 - 推导过程是纯粹的阻抗分析 + 分压计算
2.3.2.1 低通滤波
只让“低频信号”通过，高频信号被削弱或滤掉。就像一张网，小波动（低频）能穿过去，大波动（高频）被挡住。
截止频率公式：
$$
f_c = \frac{1}{2\pi RC}
$$
- 小于 f~c~：信号大部分能通过
- 大于 f~c~：信号会被大幅衰减
应用场景：
- 消除高频干扰（电源、电路输入）
- 平滑 PWM 变模拟信号（比如LED亮度、DAC输出）
- 音频系统中过滤噪声
- 模拟信号采集前滤波
2.3.2.2 高通滤波
高通滤波器只允许高频信号通过，低频（包括直流）被削弱或阻断。
截止频率公式（同低通，只是用法不同）：
$$
f_c = \frac{1}{2\pi RC}
$$
- 低频时：电容阻抗大 → 信号被“挡住”
- 高频时：电容阻抗小 → 信号更容易通过到输出
应用场景：
- 消除直流偏置（耦合信号时去掉DC成分）
- 高频信号提取（比如边沿检测、音频效果）
- 高频触发电路、检测脉冲信号等
3. 电感
3.1 电感的特性
3.1.1 流经电感的电流无法突变
因为电感会阻碍电流的变化，这是由自感应现象造成的。当电流尝试突变时，电感会立即产生一个感应电动势（反向电压），抵抗电流的快速变化。
$$
V_L = L \cdot \frac{di}{dt}
$$
- V~L~：电感两端的电压
- L：电感值（单位 H）
- d~i~/d~t~：电流变化率
应用例子：
- 缓启动：保护电路不受大电流冲击
- 升压电路：利用电感短时储能后释放
- 开关电源：平稳控制输出电流
- 继电器、马达保护：抑制断电瞬间产生的反向高压
3.2 阻抗的计算
公式：
$$
X_L = 2\pi f L
$$
- X~L~：感抗（单位：Ω）
- f：频率（单位：Hz）
- L：电感值（单位：H）
理解方式：
- 频率越高 → 感抗越大 → 越“挡”高频
- 低频或直流 → 感抗趋近于 0 → 像短路
假设：
电感：L= 10mH,频率：f = 1kHz
代入公式：
$$
X_L = 2\pi \cdot 1000 \cdot 0.01 = 62.8\ \Omega
$$
3.3 电感的特性
3.3.1 低通滤波
电感的阻抗随频率升高而变大：
$$
X_L = 2\pi f L
$$
所以：
- 低频时：电感阻抗小，信号几乎直接通过 → 输出信号≈输入
- 高频时：电感阻抗大，信号被“阻挡” → 大部分电压掉在电感上，输出变小
📐 截止频率公式：
$$
f_c = \frac{R}{2\pi L}
$$
- 小于 f~c~：低频能顺利通过
- 大于 f~c~：高频被抑制 跟 RC 滤波器不同，电感在上，电阻在下，但原理类似。由于电感内阻即小，可认为不耗能，适用于大电流环境。
应用场景
- 音频放大器输出去除高频杂音
- 开关电源输出滤波
- 高频干扰抑制
3.3.2 高通滤波
高通滤波器只允许高频信号通过，低频（包括直流）被削弱或阻断。
截止频率公式（同低通，只是用法不同）：
$$
f_c = \frac{R}{2\pi L}
$$
- 频率低（接近直流）时：电感阻抗小 → 像短路 → 信号绕过输出 → 输出几乎为 0
- 频率高时：电感阻抗大 → 像断路 → 信号主要通过 R → 输出接近输入
应用场景：
- 高频信号提取
- 音频设备中的高频增强
- 消除低频干扰（如电源工频噪声）
- 高频通信电路、RF 滤波
3.3.3 LC低通滤波
LC 配合使用，分别抑制高频电流和高频电压：
- 电感：对高频有高阻抗，阻止高频通过
- 电容：对高频有低阻抗，直接将高频“引流”到地
所以高频被双重打压，而低频可以较顺利通过
📐 截止频率计算：
$$
f_c = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}
$$
这是 LC 滤波器的谐振频率，在这个频率附近，低频通过，高频衰减迅速。
特点（对比 RC 低通）：
| 特性 | RC 低通 | LC 低通 |
|---|---|---|
| 滤波效果 | 较缓 | 更陡峭 |
| 能量损耗 | 有（热耗） | 小（更高效） |
| 高频抑制 | 一阶衰减 | 二阶衰减（更快） |
| 适合场景 | 低速信号 | 高频滤波、电源滤波 |
应用场景：
- 开关电源输出滤波（常见于 DC-DC 电路）
- 音响分频器（低音滤波）
- 高频通信、RF 滤波
- EMC 抗干扰设计中用于电源净化
可能存在的问题：
- 谐振问题（自激/振荡）
- LC 是天然的谐振回路，一旦受到激励，可能产生振荡
- 特别是在没有足够阻尼时，容易引发自激振荡，导致系统不稳定
- 高频开关电源中更常见，如果控制不好，会产生“嗡嗡响”或波形乱跳
- 增加LC回路电阻
- 对负载变化敏感
- LC 滤波器的行为和输出特性与负载阻抗有关
- 负载变动会改变滤波特性，导致频率偏移或性能下降
- 在音响或模拟信号场合尤其明显，可能会出现削波或频率失真
