本文最后更新于9 天前，其中的信息可能已经过时，如有错误请发送邮件到tudougin@163.com

PID调节是一种广泛应用于工业控制系统的反馈控制方法，通过比例（Proportional）、积分（Integral）和微分（Derivative）三个环节的组合，根据系统的误差（即目标值与当前实际值之间的差值）来调节控制量，从而使系统输出稳定、准确地达到目标值。

以下为B站Sheik丶评论,觉得有趣且浅显易懂

桶上划条线，你手动开水龙头放水到线这么高

开环控制：桶不透明，放一会感觉差不多关了就行

闭环控制：桶透明，你在这盯着点，到线了赶紧关

反馈：超线了舀出去点

前馈：开十秒就关

p：现在水位这么低，龙头开大

d：水位涨的这么快，龙头按我说的幅度一点点慢慢关

i：还没到线呢，再打开点

各种控制方式解释：

开环控制（Open-loop）：桶不透明，估计着放 10 秒就差不多到了。
- 优点：简单
- 缺点：环境变化大就不准了（水压变了怎么办？）
闭环控制（Closed-loop）：桶是透明的，你可以实时看到水位。
- 根据水位实时调节水龙头大小。
反馈控制：超线了？你用杯子舀出去点。
- 就是反馈动作的“反作用”
前馈控制（Feedforward）：水压我知道，我提前估好开几秒正好够。
- 不等误差出现就“预判”控制动作
- 类似你测过家里水压，知道“放 8 秒 = 一半桶”
- 在已知系统模型下非常好用，可以减少闭环负担
PID 控制：
1. P 控制：看现在差多少，就开多大水龙头
  - 水位低 → 开大
  - 水快到了 → 缩小点
  - 特点：响应快，但可能超调（你来不及关）
2. I 控制：一直到不了线，水再慢慢补上来
  - 如果差了一直差（误差积累） → 再开大点水龙头
  - 弥补长期偏差，让你最终能精确到线
  - 特点：消除长期偏差，但可能慢或震荡
3. D 控制：水位涨得太快，就提前关一点水
  - 趋势判断：不是水多，是水涨太快了！
  - 就像你看到水还没满，但你“预判它会满”，提前收手
  - 特点：防止超调，抑制震荡

1. PID 的三个部分

1.1 P – 比例（Proportional）

根据当前误差值进行调节。
控制输出与误差成正比。
比例项大时响应快，但可能产生震荡甚至不稳定。
数学表达：其中 e(t)是误差，Kp 是比例系数。

$$
P = K_p \cdot e(t)
$$

1.2 I – 积分（Integral）

对历史误差的累加进行调节。
作用是消除稳态误差，使系统长期来看输出精确。
积分项太大可能导致系统超调或震荡。
数学表达： Ki 是积分系数。

$$
I = K_i \cdot \int_0^t e(\tau) \, d\tau
$$

1.3 D – 微分（Derivative）

根据误差变化率进行预测性调节。
可以提高系统响应速度，减少超调。
对噪声敏感，设置要谨慎。
数学表达： Kd 是微分系数。

$$
D = K_d \cdot \frac{de(t)}{dt}
$$

2 PID 控制器的总输出公式：

$$
u(t) = K_p \cdot e(t) + K_i \cdot \int_0^t e(\tau)\, d\tau + K_d \cdot \frac{de(t)}{dt}
$$

PID 控制器在数字控制系统（如 MCU 或 DSP 控制器）中需要进行离散化实现，因为计算机不能处理连续时间信号。以下是标准的离散 PID 控制器公式和其实现方式。

2.1 离散 PID 控制器常用形式(位置式)

T：采样周期
e[k]：当前采样时刻的误差（目标值 – 实际值）
u[k]：当前时刻的控制输出

$$
u[k] = K_p \cdot e[k] + K_i \cdot \sum_{i=0}^{k} e[i] \cdot T + K_d \cdot \frac{e[k] – e[k-1]}{T}
$$

关键项处理：
积分项：用累加和∑e(i)近似连续积分。
微分项：用后向差分e(k)−e(k−1)/T近似微分。
特点：
直接计算当前控制量，但需存储所有历史误差（积分项），计算量大。
可能发生积分饱和（输出超出实际需求）。

2.2 常用的增量式离散 PID

$$
\Delta u[k] = K_p \cdot (e[k] – e[k-1]) + K_i \cdot e[k] \cdot T + K_d \cdot \frac{e[k] – 2e[k-1] + e[k-2]}{T}\
u[k]=u[k−1]+Δu[k]
$$

只需要保存 当前误差 e[k]、前一次误差 e[k-1] 和 再前一次误差 e[k-2],计算量小。
增量式不会累计积分误差溢出，更适合嵌入式系统。
对噪声更敏感（因微分项涉及高阶差分）。

3. PID控制代码

3.1 位置式PID

float error = 0;
float last_error = 0;
float integral = 0;

float T_set = 50.0;               // 设定值
float Kp = 1.0, Ki = 0.5, Kd = 0.1;
float T = 0.1;                    // 采样周期，单位：秒

// === PID 位置式控制函数 ===
uint8_t pid_position(float T_cur) {
    error = T_set - T_cur;
    integral += error * T;
    float derivative = (error - last_error) / T;

    float output = Kp * error + Ki * integral + Kd * derivative;
    last_error = error;

    if (output > 100) output = 100;
    if (output < 0) output = 0;

    return (uint8_t)output;
}

3.2 增量式PID

float e_k = 0, e_k_1 = 0, e_k_2 = 0;
float output = 0;

float T_set = 50.0;
float Kp = 1.0, Ki = 0.5, Kd = 0.1;
float T = 1.0; // 采样周期

// === PID 增量式控制函数 ===
uint8_t pid_incremental(float T_cur) {
    e_k = T_set - T_cur;

    float delta_u =
        Kp * (e_k - e_k_1) +
        Ki * T * e_k +
        Kd * (e_k - 2 * e_k_1 + e_k_2) / T;

    output += delta_u;

    e_k_2 = e_k_1;
    e_k_1 = e_k;

    if (output > 100) output = 100;
    if (output < 0) output = 0;

    return (uint8_t)output;
}

4. PID的参数整定

调整PID 三个参数，以达到快速响应、不超调、无震荡、稳态误差为零。

Kp：提高响应速度，缩小误差
Ki：消除稳态误差
Kd：抑制震荡，提高稳定性

4.1 经验法（手动调参）

调参步骤：

先设 Ki = 0，Kd = 0，只调 Kp
- 增大 Kp 直到系统开始震荡（临界比例增益）
- 稍微减小一点，保留快速响应但不震荡
加入 Ki 消除稳态误差
- 从很小的值开始增大，直到系统能回到目标值
- 若系统震荡或响应变慢，稍微减小
加入 Kd 抑制震荡、提升响应
- 逐步增大，看系统是否变得更平稳
- 过大可能导致响应延迟或噪声放大

典型值比例参考（仅供启发）：

参数	作用	初始估值
Kp	快速收敛	从 1 开始逐步调大
Ki	消除稳态误差	Kp / 10
Kd	减少超调/震荡	Kp * 10

4.2 Ziegler-Nichols 方法

一个经典的工程调参法，适合第一次设置初始 PID。